Амир Рахимов родился в Газ-Ачаке Туркменской ССР.
В 1996–2003 годы обучался на фортепианном отделении Детской музыкальной школы №1 станицы Архонская по специальности «пианист».
В 2007 году был принят на работу в хор Государственного театра оперы и балета РСО-Алания.
В 2008 году окончил факультет искусств Северо-Осетинского государственного университета им.К.Л.Хетагурова по специальности «Артист драматического театра и кино».
В 2009–2013 годы обучался на вокальном отделении Владикавказского колледжа искусств им.В.А.Гергиева по специальности «Артист-вокалист».
В 2010 году переведен на должность солиста оперной труппы Государственного театра оперы и балета РСО-Алания.
В 2014 году принят на должность солиста в Северо-Осетинскую государственную филармонию.
С 2015 года преподает мастерство актера во Владикавказском колледже искусств им.В.А.Гергиева.
В 2017 году принят на должность солиста оперной труппы филиала Мариинского театра в Республике Северная Осетия-Алания.
Репертуар на сцене Театра оперы и балета:
Альмерик («Иоланта»)
Трике («Евгений Онегин»)
Эдмонт («Манон Леско»)
Учитель танцев («Манон Леско»)
Фонарщик («Манон Леско»)
Ремендадо («Кармен»)
Гастон («Травиата»)
Гонец («Трубадур»)
Рюиц («Трубадур»)
Гонец («Аида»)
Синодал(«Демон»)
Гонец («Демон»)
Слуга («Колокольчик»)
Беппо («Рита или любовь на четверых»)
Кай («Снежная Королева»)
Солдатик («Стойкий оловянный солдатик»)
Заводной соловей («Стойкий оловянный солдатик»)
Кот Мурыч («Кот Мурыч»)
Чиполлино («Приключения Чиполлино»)
Барон Рувель («Федора»)
Оперетты:
Оттокар («Цыганский барон»)
Альфред («Летучая мышь»)
Граф Эстрагон («Цыган премьер»)
Гастон Ирини («Цыган премьер»)
Коломан Зупан («Марица»)
Бони («Сильва»)
Рамон («Поцелуй Чаниты»)
Кавалькадос («Поцелуй Чаниты»)
Николка («Бабий бунт»)
